คำเตือน: หากใช้บทความนี้อ้างอิง โปรดใช้อย่างระมัดระวัง เพราะอาจมีส่วนใดผิดได้

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์สามารถมองได้หลายลักษณะปัญหา โดยจำแนกได้ออกมาเป็นดังนี้

1. การมีอยู่ของผลเฉลยของปัญหา (Existence and uniqueness)
2. ความเสถียรในโครงสร้าง (Structural stability)¹
3. ทฤษฎีการรบกวน (Perturbation theory)²
4. ทฤษฎีการแยกเป็นสองกิ่ง (Bifurcation theory)³

โดยเราจะเริ่มที่การมีอยู่ของผลเฉลยของปัญหาก่อน ซึ่งการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์แม้แต่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (Partial Differential Equations: PDE) ในบางครั้งเราสามารถใช้เทคนิคทางสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary Differential Equations: ODE) ได้ ซึ่งทฤษฎีทาง ODE จะสามารถนำพาการหาผลเฉลยของสมการได้ โดยเหลือเงื่อนไขเพียงการทำการวนซ้ำจุดตรึง (fixed point iteration) เท่านั้น ทำให้การแก้ปัญหาผลเฉลยเป็นไปได้ง่ายยิ่งขึ้น⁴

การพิสูจน์การมีอยู่ของผลเฉลยสมการสามารถแบ่งออกได้เป็น 2 ทฤษฎีบท คือ

พิจารณา IVP

$$ \begin{cases} y^\prime(t) = f(t, y(t))&t \in [a,b],\\ y(t_0) = y_0 \end{cases} $$

1. ทฤษฎีบทของพิกาค์-ลินเดเลิฟ (Picard-Lindelöf Theorem) ซึ่งกล่าวถึงการมีอยู่ของผลเฉลยหนึ่งเดียวของ ODE เฉพาะที่ (Local existence and uniqueness) โดยมีเงื่อนไข $f$ เป็น Lipschitz continuous ใน $y$ และเป็น continuous ใน $t$ ซึ่งมีความแรงมากกว่า Continuous function อยู่มาก แต่หากอีกทฤษฎีบทหนึ่ง
2. ทฤษฎีการมีอยู่ของพิเอโน (Peano Existence Theorem) จะมองเพียงแค่ $f$ เป็น continuous function เท่านั้น ซึ่งสิ่งที่ขาดไปในผลลัพธ์ คือ การมีผลเฉลยหนึ่งเดียว (Uniqueness)
3. ทฤษฎีการมีอยู่ของคาราเธโอดอรี (Carathéodory’s existence theorem) จะให้เงื่อนไขที่เบากว่า คือ ให้ $f$ เป็น measurable ใน $t$ แต่เป็น continuous ใน $y$

ณ ที่นี้ขอพูดถึงเพียง Picard-Lindelöf theorem

Picard-Lindelöf Theorem

ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทของพิกาค์-ลินเดเลิฟ) ให้ $D \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ เป็นเซตสี่เหลี่ยมผืนผ้าปิดที่มี $(t_0, y_0) \in \mathrm{int}\ D$ ซึ่งหมายถึงเซตของจุดภายใน $D$ และให้ $f: D \to \mathbb{R}^n$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในตัวแปร $t$ และต่อเนื่องแบบลิพชิทซ์ (Lipschitz continuous) ในตัวแปร $y$ จะได้ว่ามี $\varepsilon > 0$ ที่ทำให้ปัญหาค่าเริ่มต้น (Initial value problem: IVT)

$$ \begin{cases} y^\prime(t) = f(t, y(t))&t \in [t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon],\\ y(t_0) = y_0 \end{cases} $$

ทฤษฎีบทนี้อาศัยทฤษฎีบทจุดตรึงบานาก (Banach fixed-point theorem) ในการสร้างผลเฉลยของสมการเพื่อพิสูจน์ว่ามีอยู่จริงเพียงหนึ่งเดียว

เพื่อความสะดวก กำหนดให้ $a = t_0 - \varepsilon$ และ $b = t_0 + \varepsilon$

บทพิสูจน์. ให้ว่า $T: C([a, b]) \to C([a, b])$ เป็น operator ซึ่ง

$$ T[\varphi](t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s, \varphi(s))\ ds $$

โดยเราจะเห็นว่าถ้า $y \in C([a,b])$ เป็น fixed point ของ $T$ เราจะเห็นได้ว่า $y$ เป็นผลเฉลยของ IVT ข้างต้น (สามารถตรวจสอบได้ด้วยการทำอนุพันธ์ของ $T[y]$ และดู $T[y](t_0)$) หากจะทำให้ fixed point มีเพียงจุดเดียว จะต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า $T$ เป็น contraction mapping โดย

$$ d(T(f), T(g)) \leq \lambda d(f, g) $$

ซึ่ง $0 \leq \lambda < 1$ ตาม Banach fixed-point theorem

คำถามที่เกิดขึ้นจึงปรากฏอยู่ 2 คำถาม คือ

1. Metric $d$ ของ $C([a,b])$ คืออะไร
2. $\lambda$ มีค่าเท่าไหร่

Metric ของปริภูมิคืออะไร

เราให้ว่า $d: C([a,b]) \times C([a,b]) \to [0, \infty)$ กำหนดนิยามออกมาดังนี้

$$d(f,g) = \sup_{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|$$

สำหรับทุก $f, g \in C([a,b])$

สิ่งที่จะต้องพิสูจน์ คือ $d$ มีความบริบูรณ์หรือไม่และ $d$ เป็น metric หรือไม่

เริ่มจากการดู $d$ ว่าเป็น metric หรือไม่

แล้ว $(C([a,b]),d)$ เป็น complete metric space หรือไม่

Operator ที่เรานิยามเป็น contraction mapping หรือไม่

เราจะพบว่า operator $T$ เป็น contraction mapping ใน $(C([a,b]), d)$

พิสูจน์. พิจารณา $f,g \in C([a,b])$ พบว่า

$$ \begin{aligned} d(T[f],T[g]) &= \sup_{t \in [a,b]} |T[f] - T[g]|\\ &= \sup_{t \in [a,b]} \left|\int_{t_0}^t F(s,f(s)) - F(s,g(s))\ ds\right| \end{aligned} $$

เนื่องจาก $F$ เป็น Lipschitz continuous ใน $y$ จะมี $K > 0$ ที่ทำให้ $|F[f](x) - F[g](x)| \leq K|f(x)-g(x)|$ สำหรับ $x \in [a,b]$.

$$ \begin{aligned} \phantom{d(T[f],T[g])} &\leq \sup_{t\in [a,b]} \int_{t_0}^t |F(s,f(s)) - F(s,g(s))|\ ds\\ &\leq \sup_{t\in [a,b]} \int_{t_0}^t K|f(s)-g(s)|\ ds \end{aligned} $$

เนื่องจาก $f, g$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องใน bounded set $[a,b]$ จะได้ว่า $f-g$ จะเป็น bounded function ให้ว่ามี sup norm

เลือก $\varepsilon = \frac{1}{2K}$

$$ \begin{aligned} &\leq K\varepsilon \sup_{t\in [a,b]} |f(t)-g(t)|\\ &= \frac{1}{2} d(f,g) \end{aligned} $$

จึงสามารถสรุปได้ว่าจาก Banach fixed point theorem ตัว operator $T$ มี fixed point เพียงหนึ่งเดียว ซึ่งวิธีการให้ได้ซึ่ง fixed point จะใช้กำหนดเป็น Picard iteration โดยให้ $f \in C([t_0-1/2K,t_0+1/2K])$

$$\varphi_n(t) = \begin{cases} f(t) & n = 0\\ y_0 + \int_{t_0}^t F(s,\varphi_{n-1}(s))\ ds & n > 0 \end{cases}$$

ซึ่งต้องพิสูจน์

โดยหากพิจารณาการพิสูจน์ดังนี้ เราจะพบว่าเราสามารถทำ generalization ของ IVP ให้อยู่ในรูปแบบระบบสมการ ODE $(*)$ ได้เช่นกัน

$$ \begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = X_1(t, x_1, \dots, x_n)&\text{on }[t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon]\\ \dots\\ \frac{dx_n}{dt} = X_n(t, x_1, \dots, x_n)&\text{on }[t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon]\\ x_1(t_0) = x_1^0,\ \dots,\ x_n(t_0) = x_n^0 \end{cases} $$

โดยให้ $X_1, \dots, X_n$ เป็น Lipschitz continuous ในช่วง $[t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon]$ ซึ่งหากมองอยู่ในรูปแบบเวกเตอร์จะได้ว่า

$$ \begin{cases} \frac{d\mathbf{x}}{dt}(t) = \mathbf{X}(t, \mathbf{x})&\text{on }[t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon]\\ \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0 \end{cases} $$

ซึ่งให้ $\mathbf{X}$ เป็น Lipschitz continuous vector field ก็จะให้ผลลัพธ์เดียวกับทฤษฎี Picard-Lindelöf โดยเลือก $\varepsilon > 0$ ที่เหมาะสมคล้ายคลึงกับที่เราทำก่อนหน้านี้

Local existence ของ ODE อันดับสูง

นอกจากนี้แล้ว แม้ทฤษฎีบทนี้กำลังหา local existence และ uniqueness ของ ODE อันดับ 1 แท้จริงแล้ว เราสามารถใช้กับ ODE อันดับสูงได้อีกด้วย โดยให้ $n\in \mathbb{N}$ แล้วพิจารณา IVP ดังนี้

$$ \begin{cases} \frac{d^n y}{dt^n} = F\left(t, y, \frac{dx}{dt}, \dots, \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}}\right)&\text{on }[t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon]\\ y(t_0) = y_0,\ \frac{dy}{dt}(t_0) = y^{(1)}_0,\ \dots,\ \frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} = y^{(n-1)}_0 \end{cases} $$

โดย $F$ เป็น locally Lipschitz เราจะเขียนอยู่ในรูปแบบระบบสมการ ODEs ได้ดังนี้

ให้ $x_1 = y$

$$ \begin{cases} \frac{dx_1}{dt}(t) = x_2\\ \frac{dx_2}{dt}(t) = x_3\\ …\\ \frac{dx_n}{dt}(t) = F(t, x_1, \dots, x_{n-1}) \end{cases} $$

ซึ่งถ้าหากว่า $F$ เป็น Lipschitz continuous เราจะบอกได้ว่า $\mathbf{X}$ ตามระบบสมการ $(*)$ คือ $(\pi_2, \pi_3, \dots, \pi_{n-1}, F)$ ก็เป็น Lipschitz continuous เช่นกัน โดย $\pi_i(t, \mathbf{x}(t)) = x_i(t)$ เป็น projection operator ที่เรารู้ว่าเป็น Lipschitz continuous โดยชัดแจ้ง ฉะนั้นแล้วเราจึงสามารถใช้ Picard-Lindelöf theorem สำหรับสมการอนุพันธ์อันดับสูงได้เช่นกัน

แล้ว ODE ของเรามี Global Existence หรือไม่

จาก Picard-Lindelöf theorem เราไม่สามารถสรุปได้ว่า IVP ที่เราพิจารณาอยู่หากกำหนดช่วงที่สนใจใด ๆ จะมี solution หรือไม่ โดยการสร้าง global solution ของ IVP จะทำตามแนวคิดดังต่อไปนี้

หมายเหตุ:

• เราจะพิจารณา local existence ในเซต $[t_0, t_0 + \varepsilon]$ โดย $\varepsilon$ มาจาก Picard-Lindelöf theorem
• เราจะพิจารณา IVP $(**)$ ดังนี้ ให้ $a,b \in \mathbb{R}$ โดย $a < b$ และ $\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \times [a,b] \to \mathbb{R}^n$

$$ \begin{cases} \frac{d\mathbf{y}}{dt}(t) = \mathbf{F}(\mathbf{y}(t), t) &\text{on } [a,b]\\ \mathbf{y}(a) = \mathbf{y}_0 \end{cases} $$

1. เราพิจารณาเริ่มต้นที่ $t = a$ ก่อน ซึ่งถ้าหากมี local existence ตาม Picard-Lindelöf theorem เราจะได้ $\varepsilon_0$ มาตั้ง IVP ได้ว่า

$$ \begin{cases} \frac{d\mathbf{y}}{dt}(t) = \mathbf{F}(\mathbf{y}(t), t) &\text{on } [a,a + \varepsilon_0]\\ \mathbf{y}(a) = \mathbf{y}_0 \end{cases} $$

2. จากนั้นเราก็จะพิจารณา IVP ใหม่แล้วพยายามหา $\varepsilon_n$ จากการหา local existence ของ IVP นี้

$$ \begin{cases} \frac{d\tilde{\mathbf{y}}}{dt}(t) = \mathbf{F}(\tilde{\mathbf{y}}(t), t)\text{ on } [a + \varepsilon_0 + \cdots + \varepsilon_{n-1},a + \varepsilon_0 + \cdots + \varepsilon_n]\\ \tilde{\mathbf{y}}(a + \varepsilon_0 + \cdots + \varepsilon_{n-1}) = \mathbf{y}(a + \varepsilon_0 + \cdots + \varepsilon_{n-1}) \end{cases} $$

แล้วจากนั้นจึงนำ solution มาต่อกันเป็น $\mathbf{y}|_{[a + \varepsilon_0 + \cdots + \varepsilon_{n-1}, a + \varepsilon_0 + \cdots + \varepsilon_n]} = \tilde{\mathbf{y}}$

ทว่าปัญหาที่เกิดขึ้น คือ เรารู้ได้อย่างไรว่า $\mathbf{y}$ จะสามารถหาคำตอบได้ตลอดช่วงย่อยใน $[a,b]$ (นัยเดียวกับสามารถใช้ Picard-Lindelöf theorem ได้)

ซึ่งจะพบว่าหากเราใช้วิธีตามที่เรากล่าวด้านบน เราจะได้ “ช่วงที่กว้างที่สุดที่สามารถให้คำตอบ IVP ได้” (maximal interval of existence) โดยอาศัย Zorn’s lemma⁵ ในการยืนยันการมีอยู่ของช่วงนี้

หากว่า solution ของ IVP นั้นอยู่ในช่วงที่กว้างที่สุดที่สามารถให้คำตอบ IVP ได้ เราสามารถเรียกได้ 3 แบบ⁶ คือ

1. Unbounded solution (blow-up)
2. non-global saturated solution ถ้าหากว่าช่วงนั้นไม่เท่ากับ $[a,b]$ ซึ่ง limit point ของ solution จะอยู่ที่ boundary ของ $\Omega$ เมื่อมอง $\mathbf{F}: \Omega \times [a,b] \to \mathbb{R}^n$
3. global solution ถ้าหากว่าช่วงนั้นเท่ากับ $[a,b]$

ซึ่งสำหรับ existence ของ global IVP solution นั้นจะมีเงื่อนไขพิเศษที่ไม่ต้องพิจารณาเป็น iteration อยู่ดังนี้

ทฤษฎีบท (Global IVP solution) ถ้าพิจารณา IVP $(**)$ โดยที่

$$\lVert \mathbf{F}(\mathbf{y}(t), t)\rVert \leq h(t)\lVert \mathbf{y}(t) \rVert + k(t)$$

ซึ่ง $h, k: [a,b] \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้ว IVP จะมีผลเฉลย (หนึ่งเดียว)

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้อาศัย Grönwall’s inequality ในการพิสูจน์

บทพิสูจน์. ให้ $y$ เป็น saturated solution ของ IVP, $t \in [a,b]$ เราจะพิจารณา norm ของ $\mathbf{y}(t) = \mathbf{y}_0 + \int_{a}^x \mathbf{F}(\mathbf{y}(s), s)\ ds$ ซึ่งได้ว่า

$$ \begin{aligned} \lVert \mathbf{y}(t) \rVert &= \left\lVert \mathbf{y}_0 + \int_a^t \mathbf{F}(s,\mathbf{y}(s))\ ds \right\rVert\\ &\leq \lVert \mathbf{y}_0 \rVert + \int_a^t \lVert \mathbf{F}(\mathbf{y}(s),s)\rVert\ ds\\ &\leq \lVert \mathbf{y}_0 \rVert + \int_a^t h(s)\lVert \mathbf{y}(s) \rVert + k(s)\ ds \end{aligned} $$

เนื่องจากเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จะมี $M > 0$ ที่ทำให้ $k(t) \leq M$ ในทุก $t \in [a,b]$

$$ \begin{aligned} &\leq \lVert \mathbf{y}_0 \rVert + \int_a^t k(s)\lVert \mathbf{y}(s) \rVert + M\ ds\\ &\leq \underbrace{\left(\lVert \mathbf{y}_0 \rVert + M (t-a)\right)}_{\alpha} + \int_a^t \underbrace{h(s)}_{\beta(s)}\lVert \mathbf{y}(s) \rVert\ ds \end{aligned} $$

ใช้ Grönwall’s inequality จะได้ว่า

$$ \lVert \mathbf{y}(t) \rVert \leq \left(\lVert \mathbf{y}_0 \rVert + M (t-a)\right)\exp\left(\int_a^t h(s)\ ds\right) $$

เราจะเห็นว่า $\mathbf{y}$ bounded จึงเหลือเพียง 2 กรณี แต่ว่า $\mathbb{R}^n$ ไม่มี boundary จึงทำให้ $\mathbf{y}$ เป็น global solution

ซึ่งต้องพิสูจน์.

เชิงอรรถ